不过，有一个很重要的东西就不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个一样大小的球”。
随着实数理论的建立，大家开始把极限和连续推广到更一般的地方的分析。事实上，很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的。很多特性可以抽象出来，推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广，促成了点集拓扑学(Point- set Topology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念，被提取出来，进行一般性的讨论。在拓扑学里面，有4个C构成了它的核心：
Closed set 闭集
在现代的拓扑学的公理化体系中，开集和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是开区间和闭区间的推广，它们的根本地位，并不是一开始就被认识到的。经过相当长的时间，人们才认识到：开集的概念是连续性的基础，而闭集对极限运算封闭——而极限正是分析的根基。
Continuous function 连续函数
连续函数在微积分里面有个用epsilon-delta语言给出的定义，在拓扑学中它的定义是“开集的原像是开集的函数”。第二个定义和第一个是等价的，只是用更抽象的语言进行了改写。我个人认为，它的第三个（等价）定义才从根本上揭示连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数” ——比如y是数列x1, x2, x3, … 的极限， 那么如果 f 是连续函数，那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的极限。
连续函数的重要性，可以从别的分支学科中进行类比。比如群论中，基础的运算是“乘法”，对于群，最重要的映射叫“同态映射”——保持“乘法”的映射。在分析中，基础运算是“极限”，因此连续函数在分析中的地位，和同态映射在代数中的地位是相当的。
Connected set 连通集
比它略为窄一点的概念叫(Path connected)，就是集合中任意两点都存在连续路径相连——可能是一般人理解的概念。一般意义下的连通概念稍微抽象一些。在我看来，连通性有两个重要的用场：一个是用于证明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，还有就是代数拓扑，拓扑群论和李群论中讨论根本群(Fundamental Group)的阶。
Compact set 紧集
Compactness似乎在初等微积分里面没有专门出现，不过有几条实数上的定理和它其实是有关系的。比如，“有界数列必然存在收敛子列”——用compactness的语言来说就是——“实数空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义是一个听上去比较抽象的东西——“紧集的任意开覆盖存在有限子覆盖”。这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便，它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说，用得更多的是它的另一种形式 ——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。Compactness在现代分析中运用极广，无法尽述。微积分中的两个重要定 理：极值定理(Extreme Value Theory)，和一致收敛定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推广到一般的形式。
